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海之风的博客

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日志

 
 

比算术方法好  

2015-02-07 21:27:28|  分类: 数学故事 |  标签: |举报 |字号 订阅

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比算术方法好 - 海之风 - 海之风的博客
 
 
比算术方法好
 

  让未知数参加运算,列出代数式,顺利地解决了“猴子分桃”问题。我国数学家张广厚小时候曾解过一道有趣的“吃面包”问题:

  一个大人一餐吃4个面包,四个小孩一餐合吃一个面包。现有大人和小孩共100人,一餐刚好吃100个面包,问大人、小孩各有几人?

  按照算术解法,解题步骤可以是这样:

   (1)若100人全是大人,需要几个面包?

                          4×100=400(个)。

  (2)实际上比这个数目少吃几个面包?

                400个-100个=300个。

  (3)把一个大人换成一个小孩,可省下几个面包?
          
              。
                             
   (4)为了少吃掉300个面包,要把多少个大人换成小孩?

           

  所以,有80个小孩,20个大人。

  这个解题步骤颇费思索。而代数解法就直接了当:

  设有x个大人,那么小孩有(100-x)个。根据题意,大人一餐吃4个面包,小孩一餐吃只面包,所以大人和小孩共吃4x+(100-x)个面包。但他们一餐刚好掉100个面包,所以得到方程

  解这个方程,得到x=20。 所以有20个大人,80个小孩。

  对于下面的问题,同学们先试着自己用算术方法和代数方法来解,再看题后的答案。

  初一(2)班有50个同学,集体去看电影。乙种标价每张1元,甲种标价每张1元五角。买票共用去62元。问两种票各买了多少张?

  用算术方法解:

  如果50张票全是前排的,那么总价应该是

  1元×50=50元。

  可现在共用去62元,超出了

                                          62元- 50元= 12元。

  为什么会超出12元钱呢?这是因为,实际买的票不完全是1元的。有一部分是1.5元的。如果把一张1元的票换成1.5元的票,需多付

                                          1.5元-1元=0.5元。

  现在一共多付了12元,显然,1.5元票的张数应为

                                          12元÷0.5元= 24(张)。

  由此不难求出1元的票有

                                          50-24=26(张)。
  把上面的思路写成完整的算式是

                         (62-1×50)÷(1.5-l)
                          =12÷0.5
                          =24(张)。         …票价1.5元的张数。

      ∴票价是1元的有

                                          50-24= 26(张)。

  用代数方法来解:

  设1元的票买了x张,则1.5元的票为(50-x)张。

  根据总票价,可得如下含未知数的等式:

  x+1.5(50-x)= 62。

  解这个方程,得x=26(张)。 ……l元票的张数。

  50-x=50-26=24(张)。   ……1.5元票的张数。

  显然,上面两种解法中,代数解法要比算术解法容易得多。一般说来,用代数方法解应用题,要比算术方法优越。这是什么原因?因为算术解法始终使未知数处于一种特殊的地位,在解题过程中,一般由已知数作先导,一步步地向前探索,直到解题基本结束时,才建立起要求的那个未知数与已知数之间的关系,这样做比较费力。代数解法首先用字母代替未知数,从而使未知数与已知数在考虑所有的数量关系中,始终处于平等的地位,比较容易找到反映等量的关系,从而得到解答。所以,算术方法思路比较狭窄,代数方法则比较开阔平坦。

   还需要强调一点。初中和小学数学中遇到的应用题一般都是比较简单的,如果能用算术方法解,虽说比代数方法繁,但毕竟还是能解的。在科学技术和工农业生产中提出的许多数学问题很复杂,这些复杂的问题用算术方法几乎无法去解。这时,方程的优越性就更加显示出来了,这点,同学们以后会有体会的。

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