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海之风的博客

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阿基米德与圆柱容球  

2015-02-07 21:11:02|  分类: 数学故事 |  标签: |举报 |字号 订阅

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阿基米德与圆柱容球 - 海之风 - 海之风的博客
 
 
阿基米德与圆柱容球
 

  阿基米德(Archimedes)于公元前287年出生在意大利半岛南端西西里岛的叙拉古,公元前212年于同地被害。

  近代数学史家倍尔(Eric Temple Bell,1883~1960)曾说过:"任何一张关于有史以来最伟大的数学家的名单中,必定会包括阿基米德。另外两个通常是牛顿和高斯。不过,以他们的丰功伟绩和所处的时代背景来对比,拿他们影响当代和后世的深邃久远来比较,还应首推阿基米德。"

  阿基米德发现了杠杆原理和浮力原理。

  本书第23段记述的是阿基米德利用排开液体的体积来测量王冠的体积,从而判断皇冠是否由纯金制成的故事。

  传说在阿基米德晚年,在叙拉古与它的盟国罗马共和国分裂后,罗马派了一支舰队来围城。当时阿基米德负责城防工作,他设计制造了一些灵巧的机械来摧毁敌人的舰队。他用投火器将燃烧的东西弹出去烧敌人的船舰,用一些起重机械把敌人的船只吊起掀翻,以至后来罗马人甚至不敢过分靠近城墙,只要看见城墙出现象绳子之类的玩意儿,就吓得赶快逃跑。

  然而三年以后,即在公元前212年,该城还是被攻陷了。

  据说罗马兵入城时,统帅马塞拉斯出于敬佩阿基米德的才能,曾下令不准伤害这位贤能。而阿基米德似乎并不知道城池已破,又重新沉迷于数学的深思之中。

  一个罗马士兵突然出现在他面前,命令他到马塞拉斯那里去,遭到阿基米德的严词拒绝,于是阿基米德不幸死在了这个士兵的刀剑之下。

  另一种说法是:罗马士兵闯入阿基米德的住宅,看见一位老人在地上埋头作几何图形(还有一种说法他在沙滩上画图),士兵将图踩坏,阿基米德怒斥士兵:"不要弄坏我的圆!"士兵拔出短剑,这位旷世绝伦的大科学家,竟如此地在愚昧无知的罗马士兵手下丧生了。

  马塞拉斯对于阿基米德的死深感悲痛。他将杀死阿基米德的士兵当作杀人犯予以处决,并为阿基米德修了一座陵墓,在墓碑上根据阿基米德生前的遗愿,刻上了"圆柱容球"这一几何图形。

  随着时间的流逝,阿基米德的陵墓被荒草湮没了。后来,西西里岛的会计官、政治家、哲学家西塞罗(公元前106~前43年)游历叙拉古时,在荒草发现了一块刻有圆柱容球图形的墓碑,依此辩认出这就是阿基米德的坟墓,并将它重新修复了。

  阿基米德为什么希望在自己的墓碑上刻上圆柱容球的图形呢?这是因为,阿基米德在他的许许多多的科学发现当中,以圆柱容球定理最为得意。

  圆柱容球定理是这样的:

  图中所示的圆及其外切正方形绕图中由虚线表示的对称轴旋转一周生成的几何体称为圆柱容球。在圆柱容球中,球的体积是圆柱体积的 ,球的表面积也是圆柱全面积的。  

  在今天看来这个定理不难证明。事实上:

  设圆的半径为R,球的体积与圆柱的体积分别为V及V ,球的表面积与圆柱的全面积分别为S及S,则有

      

      

      S=侧面积+上下底面积

        

        

      

  但是在阿基米德之前,人们还不知道球的面积公式和体积公式。正如A·艾鲍博士在《早期数学史选篇》中所说的:如果说欧几里德《几何原本》是前人工作的汇编的话,那么,阿基米德的每一篇论文都为数学知识宝库作出了崭新的贡献。

  尤其令人惊叹的是,阿基米德对于圆柱容球定理的证明,用的竟是从杠杆原理开始谈起的力学方法!

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