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日志

 
 

平均数 中位数 众数的区别与联系  

2015-01-24 21:23:45|  分类: 小学数学 |  标签: |举报 |字号 订阅

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平均数 中位数 众数的区别与联系 - 海之风 - 海之风的博客
 
 
人教版六下数学统计与可能性复习之:

平均数 中位数 众数的区别与联系

有一个小组在一次数学考试中得分情况如下:100分、99分、85分、96分、98分、99分、98分、98分、0分,这个小组的得分情况中,平均分是(   ),众数是(   ),中位数是(   ),如果要看这个小组这一次的得分水平最好看(   )。
    平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系,众数着眼于对各数据出现的次数的考察, ,当一组数据中的个别数据变动较大时,可用中位数来描述其集中趋势。
    一组数据中的众数有时不只一个,如数据2、3、-1、2、l、3中,2和3都出现了2次,它们都是这组数据的众数.
平均数、中位数和众数是同属于“统计与概率”领域的三个统计量。平均数在九义教材中编排于四年级下册,在人教版课标教材中编排于三年级下册第三单元《统计》中;中位数和众数是课标教材新增的学习内容,分别编排于人教版课标教材五年级上册第六单元《统计与可能性》和五年级下册第六单元《统计》中。
新教材之所以编排这三个统计量的教学,主要为了达成以下教学目标:初步了解统计数据的分布特征和规律;体验统计与生活的联系,感受统计在生活中的作用,培养学生用数据说话的习惯和实事求是的科学态度;发展学生的统计观念;逐步形成从数学的角度思考问题的思维习惯;渗透统计思想和增强统计意识;渗透用样本估计总体的思想。
一、相同点
平均数、中位数和众数这三个统计量的相同之处主要表现在:都是来描述数据集中趋势的统计量;都可用来反映数据的一般水平;都可用来作为一组数据的代表。
例如:公园里各有两组人在草地上做游戏,两组人的年龄如下:
甲组:14 10 10 10   6
乙组:50 40   5   5   10
分别算出两组年龄的平均数、中位数与众数各是多少岁?其中哪个统计量能较好反映本组的年龄特征?
在这一现实情境中,可以用平均数、中位数和众数代表每组成员的年龄的集中趋势、一般水平和作为这组成员年龄的代表,只是要看选择哪个统计量更合适的问题。
二、不同点
它们之间的区别,主要表现在以下方面。
1、定义不同
平均数:一组数据的总和除以这组数据个数所得到的商叫这组数据的平均数。
中位数:将一组数据按大小顺序排列,处在最中间位置的一个数叫做这组数据的中位数 。
众数:在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数。
2、求法不同
平均数:用所有数据相加的总和除以数据的个数,需要计算才得求出。
中位数:将数据按照从小到大或从大到小的顺序排列,如果数据个数是奇数,则处于最中间位置的数就是这组数据的中位数;如果数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数是这组数据的中位数。它的求出不需或只需简单的计算。
众数:一组数据中出现次数最多的那个数,不必计算就可求出。
例如:求下列数据的平均数、中位数和众数
(1)54 57 58 66 69
     平均数:(54+47+58+66+69)÷5=60.8
     中位数: 58
     众 数: 因为各数据出现次数都一样,所以没有众数。
(2)4.8 5.0 5.1 4.8 4.9 4.8 5.1 4.9 4.7 4.7
    平均数:(4.8+5.0+5.1+4.8+4.9+4.8+5.1+4.9+4.7+4.7)÷10=4.88
    中位数:(4.8+4.9)÷2=4.85
    众 数:因为4.8出现的次数最多,所以众数为4.8
从上面的例子中可以看出,三者之间可以相等也可以不等,它们之间无固定的大小关系。
3、个数不同
在一组数据中,平均数和中位数都具有惟一性,但众数有时不具有惟一性。在一组数据中,可能不止一个众数,也可能没有众数。
4、呈现不同
平均数:是一个“虚拟”的数,是通过计算得到的,它不是数据中的原始数据。例如:5孩子的平均年龄是10岁,这个10岁就是一个虚拟的数,因为它并不是指每个人的年龄就是10岁。这5个孩子有可能是8、9、10、11、12岁,也可能是4个5岁的小孩和一个30岁的大人。
中位数:是一个不完全“虚拟”的数。当一组数据有奇数个时,它就是该组数据排序后最中间的那个数据,是这组数据中真实存在的一个数据;但在数据个数为偶数的情况下,中位数是最中间两个数据的平均数,它不一定与这组数据中的某个数据相等,此时的中位数就是一个虚拟的数。
众 数:是一组数据中的原数据 ,它是真实存在的。
5、代表不同
平均数:反映了一组数据的平均大小,常用来一代表数据的总体 “平均水平”。
中位数:像一条分界线,将数据分成前半部分和后半部分,因此用来代表一组数据的“中等水平”。
众数:反映了出现次数最多的数据,用来代表一组数据的“多数水平”。
这三个统计量虽反映有所不同,但都可表示数据的集中趋势,都可作为数据一般水平的代表。
6、特点不同
平均数:与每一个数据都有关,其中任何数据的变动都会相应引起平均数的变动。主要缺点是易受极端值的影响,这里的极端值是指偏大或偏小数,当出现偏大数时,平均数将会被抬高,当出现偏小数时,平均数会降低。
中位数:与数据的排列位置有关,某些数据的变动对它没有影响;它是一组数据中间位置上的代表值,不受数据极端值的影响。
众数:与数据出现的次数有关,着眼于对各数据出现的频率的考察,其大小只与这组数据中的部分数据有关,不受极端值的影响,其缺点是具有不惟一性,一组数据中可能会有一个众数,也可能会有多个或没有 。
7、作用不同
平均数:是统计中最常用的数据代表值,比较可靠和稳定,因为它与每一个数据都有关,反映出来的信息最充分。平均数既可以描述一组数据本身的整体平均情况,也可以用来作为不同组数据比较的一个标准。因此,它在生活中应用最广泛,比如我们经常所说的平均成绩、平均身高、平均体重等。
中位数:作为一组数据的代表,可靠性比较差,因为它只利用了部分数据。但当一组数据的个别数据偏大或偏小时,用中位数来描述该组数据的集中趋势就比较合适。
众数:作为一组数据的代表,可靠性也比较差,因为它也只利用了部分数据。。在一组数据中,如果个别数据有很大的变动,且某个数据出现的次数最多,此时用该数据(即众数)表示这组数据的“集中趋势”就比较适合。
 
一、联系与区别:
  1、平均数是通过计算得到的,因此它会因每一个数据的变化而变化。
  2、中位数是通过排序得到的,它不受最大、最小两个极端数值的影响.中位数在一定程度上综合了平均数和中位数的优点,具有比较好的代表性。部分数据的变动对中位数没有影响,当一组数据中的个别数据变动较大时,常用它来描述这组数据的集中趋势。另外,因中位数在一组数据的数值排序中处中间的位置,
  3、众数也是数据的一种代表数,反映了一组数据的集中程度.日常生活中诸如“最佳”、“最受欢迎”、“最满意”等,都与众数有关系,它反映了一种最普遍的倾向.
二、平均数、中位数和众数它们都有各自的的优缺点.
平均数:(1)需要全组所有数据来计算;
               (2)易受数据中极端数值的影响.

中位数:(1)仅需把数据按顺序排列后即可确定;

               (2)不易受数据中极端数值的影响.

  众数:(1)通过计数得到;

           (2)不易受数据中极端数值的影响

关于“中位数、众数、平均数”这三个知识点的理解,我简单谈谈自己的认识和理解。
   ⒈众数。
  一组数据中出现次数最多的那个数据,叫做这组数据的众数。
   ⒉众数的特点。
   ①众数在一组数据中出现的次数最多;②众数反映了一组数据的集中趋势,当众数出现的次数越多,它就越能代表这组数据的整体状况,并且它能比较直观地了解到一组数据的大致情况。但是,当一组数据大小不同,差异又很大时,就很难判断众数的准确值了。此外,当一组数据的那个众数出现的次数不具明显优势时,用它来反映一组数据的典型水平是不大可靠的。
    3.众数与平均数的区别。
    众数表示一组数据中出现次数最多的那个数据;平均数是一组数据中表示平均每份的数量。
   4.中位数的概念。
    一组数据按大小顺序排列,位于最中间的一个数据(当有偶数个数据时,为最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数。
   5.众数、中位数及平均数的求法。
   ①众数由所给数据可直接求出;②求中位数时,首先要先排序(从小到大或从大到小),然后根据数据的个数,当数据为奇数个时,最中间的一个数就是中位数;当数据为偶数个时,最中间两个数的平均数就是中位数。③求平均数时,就用各数据的总和除以数据的个数,得数就是这组数据的平均数。
    6.中位数与众数的特点。
   ⑴中位数是一组数据中唯一的,可能是这组数据中的数据,也可能不是这组数据中的数据;
   ⑵求中位数时,先将数据有小到大顺序排列,若这组数据是奇数个,则中间的数据是中位数;若这组数据是偶数个时,则中间的两个数据的平均数是中位数;
   ⑶中位数的单位与数据的单位相同;
   ⑷众数考察的是一组数据中出现的频数;
   ⑸众数的大小只与这组数的个别数据有关,它一定是一组数据中的某个数据,其单位与数据的单位相同;
  (6)众数可能是一个或多个甚至没有;
  (7)平均数、众数和中位数都是描述一组数据集中趋势的量。
     7.平均数、中位数与众数的异同:
   ⑴平均数、众数和中位数都是描述一组数据集中趋势的量;
   ⑵平均数、众数和中位数都有单位;
   ⑶平均数反映一组数据的平均水平,与这组数据中的每个数都有关系,所以最为重要,应用最广;
   ⑷中位数不受个别偏大或偏小数据的影响;
   ⑸众数与各组数据出现的频数有关,不受个别数据的影响,有时是我们最为关心的数据。
8.统计量。
    平均数、众数和中位数都叫统计量,它们在统计中,有着广泛的应用。
9.举手表决法。
    在生活中,往往会有由多数人来从众多答案中选择一个的情形,一般都利用“举手表决”方式来解决问题。即在统计出所有提议及相应票数的情况下,看各票数的众数是否超过总票数的一半,如果众数超过了总票数的一半,选择的最终答案就是这个众数。如果出现了双众数(两个众数),可对这两个众数采用抓阄、抽签或投掷硬币等办法选出最终的答案。
    10.平均数、众数和中位数三种统计数据在生活中的意义。
    平均数说明的是整体的平均水平;众数说明的是生活中的多数情况;中位数说明的是生活中的中等水平。
     11.如何通过平均数、众数和中位数对表面现象到背景材料进行客观分析。
    在个别的数据过大或过小的情况下,“平均数”代表数据整体水平是有局限性的,也就是说个别极端数据是会对平均数产生较大的影响的,而对众数和中位数的影响则不那么明显。所以,这时要用众数活中位数来代表整体数据更合适。即:如果在一组相差较大的数据中,用中位数或众数作为表示这组数据特征的统计量往往更有意义。
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